Enunciado

Uma lâmina plana com densidade constante ρ x ,   y = ρ ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C . Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são

I x = - ρ 3 ∮ C y 3   d x                     I y = ρ 3 ∮ C x 3   d y

Passo 1

Na seção de aplicação das integrais duplas é dado que

I x = ∬ D y 2 ρ x , y   d A                     I y = ∬ D x 2 ρ x , y   d A

Como ρ x ,   y = ρ é constante

I x = ρ ∬ D y 2   d A                     I y = ρ ∬ D x 2   d A

Então vamos transformar essa integral em uma integral de linha, pelo Teorema de Green, focando no momento em x primeiro

I x = ρ ∬ D y 2   d A

Para usar o teorema, precisamos de duas funções P e Q que satisfaçam

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = y 2

Se usarmos Q = 0

- ∂ P ∂ y = y 2

Integrando em relação a y

- ∫ ∂ P ∂ y   d y = ∫ y 2   d y

- P = y 3 3 + C

Podemos pegar a função mais simples que é quando C = 0 então

P = - y 3 3

E temos que

I x = ρ ∬ D y 2   d A = ρ ∮ C - y 3 3   d x

I x = - ρ 3 ∮ C y 3   d x

Onde C = ∂ D , ou C é fronteira de D orientada positivamente.

Passo 2

Seguindo o mesmo raciocínio para y

I y = ρ ∬ D x 2   d A

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = x 2

Se P = 0

∂ Q ∂ x = x 2

∫ ∂ Q ∂ x d x = ∫ x 2   d x

Q = x 3 3 + C

Se C = 0

Q = x 3 3

E temos

I y = ρ ∬ D x 2   d A = ρ ∮ C x 3 3   d y

I y = ρ 3 ∮ C x 3   d y

Onde C = ∂ D .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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